Consideriamo due radiazioni, una con frequenza di 4 × 1014 Hz e l’altra di 8 × 1014 Hz. Se la domanda riguarda l’energia trasportata da ciascun fotone, la seconda ne trasporta il doppio. La ragione è quantitativa: l’energia del singolo fotone cresce in proporzione diretta alla frequenza.
La frequenza determina l’energia del fotone
Un fotone è un singolo quanto di radiazione elettromagnetica. La frequenza, indicata con ν, esprime il numero di oscillazioni al secondo ed è misurata in hertz. Queste due grandezze sono collegate dalla relazione di Planck:
E = hν
E è l’energia del fotone, mentre h è la costante di Planck, pari a circa 6,626 × 10−34 J·s. Moltiplicando questa costante per una frequenza espressa in s−1, si ottiene un’energia in joule.
Per esempio, a una frequenza di 5,0 × 1014 Hz corrisponde:
E = (6,626 × 10−34 J·s) × (5,0 × 1014 s−1) ≈ 3,31 × 10−19 J
Se la frequenza raddoppia, raddoppia anche l’energia di ogni fotone; se si dimezza, l’energia si dimezza. La frequenza non indica dunque soltanto quanto rapidamente oscilla la radiazione: stabilisce anche la quantità di energia associata a ciascun suo quanto.
Il collegamento con la lunghezza d’onda
Nel vuoto frequenza e lunghezza d’onda sono legate dalla velocità della luce:
ν = c/λ
Qui c è la velocità della luce nel vuoto e λ la lunghezza d’onda. Sostituendo questa espressione nella relazione di Planck si ottiene:
E = hc/λ
La dipendenza ora appare inversa: una lunghezza d’onda più corta corrisponde a un fotone più energetico, mentre una lunghezza d’onda più lunga corrisponde a un’energia minore. Due lunghezze d’onda possono quindi essere confrontate senza svolgere l’intero calcolo. Se una è la metà dell’altra, il suo fotone possiede il doppio dell’energia.
Questa forma richiede però una condizione precisa: λ deve essere la lunghezza d’onda collegata a c, quindi quella considerata nel vuoto. In un materiale la velocità di propagazione e la lunghezza d’onda possono cambiare. La relazione fondamentale per l’energia rimane E = hν; la formula E = hc/λ va usata riferendo correttamente la lunghezza d’onda al vuoto.
Come eseguire il calcolo con unità coerenti
Se sono note frequenza e costante di Planck, il calcolo in joule è diretto. Occorre soltanto verificare che la frequenza sia espressa in hertz. Se invece è disponibile la lunghezza d’onda, questa deve essere convertita nell’unità richiesta dalla formula scelta.
Per ottenere rapidamente l’energia in elettronvolt quando la lunghezza d’onda è espressa in micrometri, si può usare l’approssimazione:
E/eV ≈ 1,2398/(λ/μm)
Un fotone con lunghezza d’onda di 1 μm possiede quindi un’energia di circa 1,2398 eV. Per una lunghezza d’onda di 500 nm bisogna prima effettuare la conversione: 500 nm corrispondono a 0,5 μm. Il risultato diventa:
E ≈ 1,2398/0,5 eV ≈ 2,48 eV
Il fotone da 500 nm ha così un’energia doppia rispetto a quello da 1 μm, coerentemente con la lunghezza d’onda dimezzata. Scrivere direttamente 500 nella formula destinata ai micrometri produrrebbe invece un risultato errato: la relazione fisica sarebbe corretta, ma le unità non sarebbero compatibili.
Dalle onde radio ai raggi gamma
Il rapporto tra frequenza, lunghezza d’onda ed energia permette di leggere lo spettro elettromagnetico come una successione di energie per fotone. Procedendo, in termini generali, dalle onde radio verso microonde, infrarosso, luce visibile, ultravioletto, raggi X e raggi gamma, la frequenza aumenta e la lunghezza d’onda diminuisce. Di conseguenza cresce anche l’energia del singolo fotone.
La stessa regola vale all’interno della regione visibile: la radiazione violetta ha frequenza maggiore e lunghezza d’onda minore rispetto a quella rossa, perciò i suoi fotoni sono più energetici. Frequenza, lunghezza d’onda ed energia restano grandezze distinte, ma il loro legame consente di ricavare ciascuna dalle altre nelle condizioni appropriate.
Energia del fotone ed energia del fascio
Il confronto va infine riferito alla grandezza giusta. E = hν determina l’energia di un singolo fotone. Per un insieme di N fotoni tutti della stessa frequenza, l’energia complessiva è N·hν. Un fascio con fotoni meno energetici può quindi trasportare più energia totale di un fascio ad alta frequenza, se contiene un numero sufficientemente maggiore di fotoni.
La regola operativa è perciò netta: maggiore frequenza significa maggiore energia per fotone; nel vuoto equivale a dire che una lunghezza d’onda minore identifica un fotone più energetico. Da questo solo confronto, però, non si può stabilire quale fascio trasporti più energia complessiva.
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